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簡単な算数の問題です。

入手確率がx(0＜x＜1)であるアイテムが確率yで手に入っているためには何回戦っていればいいのかを求めてみましょう。例えばy=1/2とすればその回数戦って手に入らなかったら運が悪い方に属する、y=9/10ならばその回数戦って手に入らなかったら10人に1人の不運の持ち主ということになります。

こういうのは手に入らない確率の方を計算するのが常套手段で、n回戦った時点でまだ1個も手に入れてない確率は(1-x)^nです。従って、(1-x)^n=1-yの解であるnを求めればいいことになります。ということで答えはlog(1-y)/log(1-x)なわけですが。

ここで、-log(1-x)=Σ_{n=1～∞} x^n/n なので、xが十分小さければlog(1-x)はだいたい-xに等しいので、だいたい-log(1-y)*(1/x)が求めるべき回数となります。まぁxが1/10(10%のこと)以下程度ならこのくらいの評価で良いのではないかと。

-log(1-y)の方は、よく使うのはy=1/2,9/10,99/100だと思うのでそのだいたいの値を紹介しておくと、それぞれ0.69,2.30,4.61程度です。従って、

入手確率がx(0＜x≦1/10程度)の場合、
入手確率が5割を超えるのは0.7*(1/x)回目
入手確率が9割を超えるのは2.3*(1/x)回目
入手確率が99%を超えるのは4.6*(1/x)回目
と覚えておくと簡単に計算できるでしょう。